有趣的积分(5)

Gamma function

In the same nature as Peter Tamaroff’s answer, that it is always interesting to learn about the Gamma function:

\[ \Gamma(z) := \int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,\text dt \]
Integration by parts yields

\[ \Gamma(z+1) = \left[-e^{-t}t^{z}\right]_0^\infty+z\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,\text dt = z\Gamma(z) \]
and seeing that

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有趣的积分(3)

\[
\int_0^\infty\exp\Big(-\sqrt[n]x\Big)\text{d}x=n!
\]
\[
\int_0^1\Big(1-\sqrt[n]x\Big)^m\text{d}x={m+n\choose n}^{-1}={m+n\choose m}^{-1}
\]
\[
\int_0^1\ln\Big(1-\sqrt[n]x\Big)\text{d}x=-H_n
\]
\[
\lim_{n\to\infty}n\Big(1-\sqrt[n]x\Big)=-\ln x
\]

\(
\displaystyle \int_{0}^{1}x^{-x}=\sum_{n\ =\ 1}^{\infty}n^{-n}
\),这个也被称之为 \( {\tt\mbox{Sophomore’s Dream}} \)

更多关于Sophomore’s Dream: 酱紫君的博客: Sophomore’s Dream

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有趣的积分(2)

这次不是积分题啦,都是一些令人吃惊的结论
1.\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\text{d}x}{(e^x+x+1)^2+\pi^2} = \frac{2}{3} \]

2.\[ \int_{-1}^1\frac{\text{d}x}{x}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\log\left(\frac{2\,x^2+2\,x+1}{2\,x^2-2\,x+1}\right) = 4 \pi \operatorname{arccot}{\sqrt{\phi}} \] 其中 \[ \phi=(1+\sqrt{5})/2 \]

3.\[ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\left(x+ \tan x \right)^2} \mathrm{d}x=\sqrt{\pi} \]

4.
\[ \begin{align}
\displaystyle \int_0^{1} \cfrac 1 {1 + \cfrac 1 {1 + \cfrac 1 {\ddots + \cfrac 1 { 1 + \psi (\left\{1/x\right\}+1)}}}}
\mathrm{d}x
& = \dfrac{F_{n-1}}{F_{n}}
– \dfrac{(-1)^{n}}{F_{n}^2}
\ln \left( \dfrac{F_{n+2}-F_{n}\gamma}{F_{n+1}-F_{n}\gamma} \right)\\\\
\end{align} \],其中\( \left\{x\right\}=x-\lfloor x\rfloor \), \( \gamma \) 是欧拉伽马常数, \( F_{n} \) 是斐波那契数, \( \psi:=\Gamma’/\Gamma \) 是digamma函数.
5.\[ \displaystyle \int_0^{+\infty}\cos(x^2)\text{d}x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \]

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How to add ege graphics library to DEVCPP

前言

EGE图形库是一个很好的东西,然而DEVCPP是一个老古董,很多功能不全,这对想开发图形应用程序的OIer们很不友好,这篇文章就来简述一下如何将EGE图形库添加入DEVCPP。

Step 1:Download EGE Graphics Library

你想要用EGE,就必须下载(这不是废话么)前往http://xege.org/,就可以下载最新版EGE.

Step 2:Install EGE Graphics Library

做完Step 1后,你应该会得到一个压缩包。打开后,按照里面的 说明.txt 去做就行了,具体过程略(2333)

这只是个测试啊,哈哈哈。。。。

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